Nombres mystère et division euclidienne - Corrigé

Énoncé

La différence de deux entiers naturels est égale à \(657\) .

Lorsqu'on divise l'un par l'autre, le quotient est  \(21\) et le reste \(17\) .

Quels sont ces entiers ?

Solution

Soit  \(a\) et  \(b\) les deux entiers cherchés. Quitte à les échanger, on suppose que \(a>b\) .

Par hypothèse : \(a-b=657\) et \(a=21b+17\) avec \(0 \leqslant 17. 

La première égalité fournit : \(a=657+b\) .

En utilisant la seconde égalité, on a alors :
\(657+b=21b+17 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 20b=640 \ \ \Longleftrightarrow \ \ b=\frac{640}{20}=32\)   

donc \(b=32\) et \(a=657+b=657+32=689\) .