Nombres mystère et division euclidienne - Corrigé

Énoncé

La différence de deux entiers naturels est égale à $657$ .

Lorsqu'on divise l'un par l'autre, le quotient est  $21$ et le reste $17$ .

Quels sont ces entiers ?

Solution

Soit  $a$ et  $b$ les deux entiers cherchés. Quitte à les échanger, on suppose que $a>b$ .

Par hypothèse : $a-b=657$ et $a=21b+17$ avec \(0 \leqslant 17. 

La première égalité fournit : $a=657+b$ .

En utilisant la seconde égalité, on a alors :
$657+b=21b+17⟺20b=640⟺b=\frac{640}{20}=32$   

donc $b=32$ et $a=657+b=657+32=689$ .